【問題】
《地剣の土方》、《人剣のイサミ》、《磯風参式》、《闇法師弁慶》をそれぞれ4枚ずつ採用した40枚組みのデッキを使用し後攻を引いたとき、その初手で《人剣のイサミ》、《磯風参式》、《闇法師弁慶》のいずれかを軽減に用いて《地剣の土方》を召喚できる確率を求めよ。ただしマリガン(手札の引き直し)は6回まで可能なものとし、マリガンミスはないものとする。
【解答】
《地剣の土方》を土方と呼び、《人剣のイサミ》、《磯風参式》、《闇法師弁慶》をまとめて青侍と呼ぶ。
求める確率は、
「6回のマリガンを行うまでに手札の4枚に土方青侍が揃う確率」
+「6回のマリガンでも手札4枚に土方青侍が揃わず、かつ、ターン開始時の2枚ドローを加えた手札6枚の中に土方青侍が揃う確率」
まず「6回のマリガンを行うまでに手札の4枚に土方青侍が揃う確率」を求める。
土方3枚、その他青侍9枚を含む40枚のデッキからから4枚を引いた中に土方青侍が揃う確率をpとする
初期手札→マリガン回数0回で初めて土方青侍が揃う確率=P(0)
1回引き直した→マリガン回数1回で初めて土方青侍が揃う確率=P(1)
↓
n回引き直した→マリガン回数n回で初めて土方青侍が揃う確率=P(n)とする
まずn=0の時、初期手札で土方青侍が揃う確率P(0)は上に記載した通りp
初期手札で土方青侍が揃わず、1回目の引き直しで初めて土方青侍が揃う確率P(1)は
P(1)= (1-p)×p
初期手札と1回目の引き直しで土方青侍が揃わず、2回目の引き直しで初めて土方青侍が揃う確率P(2)は
P(2)=(1-p)×(1-p)×p
初期手札と1回目、2回目の引き直しで土方青侍が揃わず、3回目の引き直しで初めて土方青侍が揃う確率P(3)は
P(3)=(1-p)×(1-p)×(1-p)×p
つまり初期手札、1回目、2回目、3回目…(n-1)回目の引き直しで土方青侍が揃わず、n回目の引き直しで初めて土方青侍が揃う確率P(n)は、
P(n)={(1-p)^n}×p である
以上から、「6回のマリガンを行うまでに手札の4枚に土方青侍が揃う確率」は
P(0)+P(1)+P(2)+P(3)+P(4)+P(5)+P(6)
={1+(1-p)+(1-p)^2+(1-p)^3+(1-p)^4+(1-p)^5+(1-p)^6}×pーーー(＊)
ここで、計算がめんどくさいのでデッキから引ける確率を計算できるサイトに頼る。
今回は単純に40枚から4枚引いて土方青侍が揃う確率pを求めたいのでマリガンはなしと入力し確率を求めると、
ハイ出ました。p≒0.157
これを先程の式(＊)に代入すると、「6回のマリガンを行うまでに手札の4枚に土方青侍が揃う確率」は、0.697452881…(エクセル叩きました)≒69.75％
次に、「6回のマリガンでも手札4枚に土方青侍が揃わず、かつ、ターン開始時の2枚ドローを加えた手札6枚の中に土方青侍が揃う確率」を求める。
6回のマリガンを終えて手札4枚に土方青侍が揃わない時、6回目のマリガンで引いた手札の状況は
①青侍はあるが土方がない
②土方はあるが青侍はない
③土方も青侍もない
の3種類に場合分けされる。
図解するため、土方を◎、青侍を○、その他のカードを●で示す。
①青侍はあるが土方がない
この時、手札は○○○○、○○○●、○○●●、○●●●のいずれか
これも計算機を叩くとそれぞれの事象が出現する確率は
○○○○→0.00137
○○○●→0.02574
○○●●→0.14890
○●●●→0.32262
ハイこいつらを足して0.49863
さらにここから最初の2枚ドローで残り36枚(うち土方3枚)のデッキから1枚以上土方を持ってくる確率は、（めんどいから計算機叩いて）0.16190
よって①のパターンで土方青侍が揃う確率は、
(1-p)^6×0.49863×0.16190=0.02897
≒2.90％
②土方はあるが青侍はない
これは以下の通り。
◎◎◎●→0.00031
◎◎●●→0.01241
◎●●●→0.10754
合計は0.12026
残り36枚の中に9枚眠っている青侍を2枚ドローで1枚以上引く確率は計算機から0.44286
よって②のパターンで土方青侍が揃う確率は
(1-p)^6×0.12026×0.44286=0.019114
≒1.91％
③土方も青侍もない
これは●●●●の1通りで、確率は0.22404
ここから残り36枚にすべて埋まっている土方と青侍を引っ張ってくる奇跡のような確率は計算機によると0.04286
よって③のパターンで土方青侍が揃う確率は
(1-p)^6×0.22404×0.04286=0.003466
≒0.35％
①②③より、「6回のマリガンでも手札4枚に土方青侍が揃わず、かつ、ターン開始時の2枚ドローを加えた手札6枚の中に土方青侍が揃う確率」は
2.90+1.91+0.35=5.16％
結論
以上を足し合わせ、求める確率は
69.75+5.16=74.91≒74.9％
答. 74.9％
あとがき
クソ暇だったからやってみたけど久々に数字に触っていい頭の運動になったよ
有効数字とかミスってたらごめん
ちなみに全ハンデス→デッキリセットされた状況から俺がスサノオを出せる確率は100％
漢なら数字ではなく"キズナ"で勝負しろ
